(5). 对数据进行说明。
1 | 3 表示 13。
例8. 求此茎叶图(stem-and-leaf plot)中数据的平均数。
(A)20 (B)25 (C)22 (D)18 (E)16
解答:(B)。
\( \bar{x} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \ldots + {x}_{n}}{n} = \frac{{14} + {23} + {24} + {30} + {34}}{5} = \frac{125}{5} = {25} \)
例题
例9. 求下列数据集的平均数与众数之正差:1,1,2,2,2,3,3,4,9。
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 (E)4
解答:(C)。
平均数为 \( \bar{x} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \ldots + {x}_{n}}{n} = \frac{1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 9}{9} = \frac{27}{9} = 3 \)
众数是该组数据中出现次数最多的数，即2:
\( 1,1,\underline{2},2,2,3,3,4,9 \)
差值为 \( 3 - 2 = 1 \) 。
例10. 求下列分数集的众数与中位数之正差:88,82,86,95,80,95,75,78。
(A)10 (B)11 (C)12 (D)14 (E)13
解答:(B)。
将这组数从小到大排列:75,78,80,82,86,88,95,95。
由于 \( n \) 为偶数(8)，中位数为中间两个数的平均值: \( \left( {{82} + {86}}\right) /2 = {84} \)
众数为95。正差为 \( {95} - {84} = {11} \) 。
例11. 求下列分数的均值与中位数之正差:26,38,54,35,27。
(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 4 (E) 5
解答:(B)。
将这组数从小到大排列:26,27,35,38,54。由于 \( n \) 为奇数(5)，中位数为35(中间数)。
均值为 \( \bar{x} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} + {x}_{5}}{5} = \frac{{26} + {38} + {54} + {35} + {27}}{5} = {36} \) 。
正差为 \( {36} - {35} = 1 \) 。
例12. 列表 \( n, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 8, n + {10}, n + \) \( {12}, n + {15} \) 的均值为11。中位数是多少？
(A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 10 (E) 11
解答:(D)。
均值为
\( \frac{n + n + 3 + n + 4 + n + 5 + n + 6 + n + 8 + n + {10} + n + {12}}{9} = \frac{{9n} + {63}}{9} = n + 7. \)
已知 \( n + 7 = {11} \Rightarrow \;n = {11} - 7 = 4 \) 。
中位数为中间数 \( n + 6 = 4 + 6 = {10} \) 。
例13. 四个连续奇数之和为504。这些数的均值与中位数之差是多少？
(A) 1 (B) 3 (C) 2 (D) 4 (E) 0
解答:(E)。
中位数是中间两个数的平均数。这两个中间数的平均数等于所有数的平均数。
所有数的平均数是 \( {504}/4 = {126} \) 。
正差为 \( {126} - {126} = 0 \) 。
例14:90个数的平均数(均值)为60，另外60个数的平均数为90。求所有数的平均数。
(A) 46 (B) 42 (C) 52 (D) 62 (E) 72
解答:(E)。
这 \( {90} + {60} = {150} \) 个数的总和为 \( {90} \times {60} + {60} \times {90} = {10},{800} \) 。它们的平均数为 \( {10800}/{150} = {72} \) 。
例15:求下列分数集合的极差与中位数之和:17,19,24,16,17,19,21。
(A) 20 (B) 27 (C) 32 (D) 21 (E) 23
解答:(B)。
将这组数从小到大排列:16,17,17,19,21,22,24。
由于 \( n \) 为奇数(7)，中位数为19(中间那个数)。
最小数为16，最大数为24。极差为 \( {24} - {16} = 8 \) 。总和为 \( {19} + 8 = {27} \) 。
例16:求下列数据集的中位数与平均数之差:4.8,3.7,5.2,4.1,4.7,3.6,4.8,3.5。
(A) 0.2 (B) 4.3 (C) 0.1 (D) 4.4 (E) 1.3
解答:(D)。
中位数为4.4，即列表中两个中间数的平均数:
3.5,3.6,3.7,4.1,4.7,4.8,4.8,5.2
平均数 \( = \)
\[ \bar{x} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \ldots + {x}_{n}}{n} = \frac{{3.5} + {3.6} + {3.7} + {4.1} + {4.7} + {4.8} + {4.8} + {5.2}}{8} = {4.3} \]
差值为 \( {4.4} - {4.3} = {0.1} \) 。
例17. 一个包含五次观测的样本，其算术平均数为12，中位数为14。该样本的极差(最大观测值减最小观测值)所能取到的最小值为
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 10
解答:(C)。
由于5个观测值的平均数为12，它们的总和必为60。由于中位数为14，其中一个观测值必须为14，另外两个不大于14，剩余两个至少为14。若将最大观测值增加 \( x \) ，则不大于14的观测值之和必须减少 \( x \) ，以保持平均数仍为12。
然而，这会扩大极差。因此，当三个观测值为14，剩余两个观测值相等且总和为 \( {60} - \) \( 3\left( {14}\right) = {18} \) 时，极差最小。故样本9,9,14,14,14使极差最小，极差可取到的最小值为 \( {14} - 9 = 5 \) 。
例18.(2000 AMC 10)沃尔特夫人在一个有五名学生的数学班进行了一次考试。她按随机顺序将分数输入电子表格，每输入一个分数，表格都会重新计算班级平均分。沃尔特夫人注意到，每输入一个分数后，平均分始终是整数。这些分数(按升序排列)为71,76,80,82和91。沃尔特夫人最后输入的分数是
(A) 71 (B) 76 (C) 80 (D) 82 (E) 91
解答:(C)。
方法1(官方解答):
注意，平均数为整数的条件意味着前 \( n \) 名学生的分数之和与0同余(模 \( n \) )。前两名学生的分数必须同为偶数或同为奇数，且前三名学生的分数之和必须能被3整除。71,76,80,82和91除以3的余数分别为2,1,2,1和1。因此，唯一能被3整除的三个分数之和为 \( {76} + {82} + {91} = {249} \) ，其与1同余(模4)。所以第四名学生的分数必须与3同余(模4)，唯一可能的是71，剩下80即为第五名学生的分数。
方法2(我们的解答):
设按顺序输入的五个分数为 \( a, b, c, d \) 和 \( e \) 。
我们知道 \( \frac{a + b}{2} \) 是整数，因此 \( a \) 与 \( b \) 之和必须能被2整除。
于是 \( a \) 与 \( b \) 的奇偶性相同。它们可以是 \( \left( {{76},{80}}\right) ,\left( {{76},{82}}\right) ,\left( {{80},{82}}\right) \) ，或 \( ({71} \) ，91)。 \( \left( {{76} + {80}}\right) ,\left( {{76} + {82}}\right) ,\left( {{80} + {82}}\right) \) 和 \( \left( {{71} + {91}}\right) \) 除以3的余数分别为0、2、0和0。
我们知道 \( \frac{a + b + c}{3} \) 是整数，因此 \( a, b \) 与 \( c \) 之和必须能被3整除。
若输入的前两个数为76，则 \( {80}, c \) 必须能被3整除。但71、82、91均不能被3整除。对 \( \left( {a, b}\right) = \left( {{80},{82}}\right) \) 或 \( \left( {a, b}\right) = \left( {{71},{91}}\right) \) 而言，结论同样成立。
唯一剩下的情形是 \( \left( {a, b}\right) = \left( {{76},{82}}\right) \) 。
若输入的前两个数为76和82，则 \( c \) 除以3的余数必须为1。在71、80、91中，只有91满足该性质。
因此唯一能被3整除的三数之和为 \( {76} + {82} + {91} = {249} \) 。
\( {249} + d \) 必须是4的倍数，因此 \( d \) 必为奇数。于是唯一可选的是71，从而第五位学生的得分为80。
例19.(2000 AMC 10 第23题)将列表 \( {10},2,5,2,4,2, x \) 的均值、中位数和众数按升序排列后，它们构成一个非常数等差数列。求 \( x \) 所有可能实数值之和。
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 17 (E) 20
解答:(E)。
方法一(官方解答):
若 \( x \) 小于或等于2，则2既是该列表的中位数又是众数。于是 \( x > 2 \) 。考虑 \( 2 < x < 4 \) 和 \( x \geq 4 \) 两种情形。
情形1:若 \( 2 < x < 4 \) ，则2为众数， \( x \) 为中位数， \( \left( {{25} + x}\right) /7 \) 为均值，该均值必须等于 \( 2 - \left( {x - 2}\right) ,\left( {x + 2}\right) /2 \) 或 \( x + \left( {x - 2}\right) \) ，取决于均值相对于2和 \( x \) 的大小。由此得到 \( x = 3/8, x = {36}/5 \) 和 \( x = 3 \) ，其中 \( x \) \( = 3 \) 是介于2与4之间的唯一值。
情形2:若 \( x \geq 4 \) ，则4为中位数，2为众数， \( \left( {{25} + x}\right) /7 \) 为均值，该均值必须为0、3或6。于是 \( x = - {25}, - 4 \) 或17，其中17是唯一大于或等于4的值。因此 \( x \) 值之和为 \( 3 + {17} = {20} \) 。
方法二(我们的解答):
列表将是:2,2,2,4,5,10。
如果 \( x \) 小于或等于2，那么2既是列表的中位数又是众数。当平均数、中位数和众数按升序排列时，它们无法构成一个非常数等差数列。因此 \( x > 2 \) 。
情况1:列表为 \( 2,2,2, x,4,5,{10} \) 。
\( \frac{2 + 2 + 2 + x + 4 + 5 + {10}}{7} = \frac{{25} + x}{7} \) 是平均数， \( x \) 是中位数，2是众数，
按升序排列，我们得到 \( 2, x,\frac{{25} + x}{7} \) 构成一个非常数等差数列:
\[ \frac{\frac{{25} + x}{7} + 2}{2} = x\; \Rightarrow \;\frac{{25} + x}{7} + 2 = {2x}\; \Rightarrow \;x = 3. \]
情况2:列表为 \( 2,2,2,4, x,5,{10} \) ；或 \( 2,2,2,4,5, x,{10} \) ；或 \( 2,2,2,4,5,{10}, x \) 。
在所有情况下，4是中位数， \( \frac{{25} + x}{7} \) 是平均数，2是众数。
我们有
\[ \frac{4 + 2}{2} = \frac{{25} + x}{7}\; \Rightarrow \;\frac{{25} + x}{7} = 3\; \Rightarrow \;x = - 4 \]
\[ \frac{\frac{{25} + x}{7} + 4}{2} = 2\; \Rightarrow \;\frac{{25} + x}{7} = 0\; \Rightarrow \;x = - {25} \]
\[ \frac{\frac{{25} + x}{7} + 2}{2} = 4\; \Rightarrow \;\frac{{25} + x}{7} = 6\; \Rightarrow \;x = {17}. \]
17是唯一大于或等于4的值。
因此 \( x \) 值的总和为 \( 3 + {17} = {20} \) 。
例20.(AMC)三个数的平均数比最小的数大10，比最大的数小15。这三个数的中位数是5。它们的和是多少？
(A) 5 (B) 20 (C) 25 (D) 30 (E) 36
解答:(D)。
方法1(官方解答):
由于中位数是5，我们可以将这三个数表示为 \( x,5 \) ，和 \( y \) ，其中
\[ \frac{1}{3}\left( {x + 5 + y}\right) = x + {10}\text{ and }\frac{1}{3}\left( {x + 5 + y}\right) + {15} = y. \]
若将这两个方程相加，我们得到 \( \frac{2}{3}\left( {x + 5 + y}\right) + {15} = x + y + {10} \) ，解得 \( x + y \) 为 \( x + y = {25} \) 。因此这些数的和为 \( x + y + 5 = {30} \) 。
方法二(我们的解法):
设这三个数为 \( a \leq b \leq c \) 。
我们有 \( \frac{a + b + c}{3} = a + {10} = c - {15} \) 或
\( \frac{a + b + c}{3} = \frac{a + {10}}{1} = \frac{c - {15}}{1} = \frac{a + c - 5}{2} = \frac{\left( {a + b + c}\right) - \left( {a + c - 5}\right) }{3 - 2} = \frac{b + 5}{1} \) (1)
已知这三个数的中位数为5，因此 \( b = 5 \) 。
将 \( b = 5 \) 代入(1)得: \( \frac{a + b + c}{3} = \frac{5 + 5}{1} = {10} \Rightarrow a + b + c = 3 \times {10} = {30} \) 。
例21.(2002 AMC 10 A 第21题)一组八个整数的平均数、中位数、唯一众数及极差均等于8。问该组数中最大可能为多少？
(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 15
解答:(D)。
方法一(官方解法):
数值6,6,6,8,8,8,8,14满足题意，故答案至少为14。若最大数为15，则该组数按升序排列为7, , , , , 8, 8, , , 15。但 \( 7 + 8 + 8 + {15} = {38} \) ，且平均数为8意味着所有数之和为64。此时四个缺失数之和为 \( {64} - {38} = {26} \) ，其平均值为6.5，这意味着至少有一个数小于7，矛盾。因此集合中最大整数为14。
方法二(我们的解法):
设八个数为 \( {a}_{1} \leq {a}_{2} \leq {a}_{3} \leq {a}_{4} \leq {a}_{5} \leq {a}_{6} \leq {a}_{7} \leq {a}_{8} \) ，其中位数为 \( {a}_{4} + {a}_{5} = \)
16，平均数为 \( {a}_{1} + {a}_{2} + {a}_{3} + {a}_{4} + {a}_{5} + {a}_{6} + {a}_{7} + {a}_{8} = {64} \) ，极差为 \( {a}_{8} - {a}_{1} = 8 \) 。
我们希望 \( {a}_{8} \) 取最大值，等价于希望 \( {a}_{1} \) 取最大可能值。
以下列表均满足题意。
| \( {a}_{1} \) | \( {a}_{2} \) | \( {a}_{3} \) | \( {a}_{4} \) | \( {a}_{5} \) | \( {a}_{6} \) | \( {a}_{7} \) | \( {a}_{8} \) |
| 2, | 8, | 8, | 8, | 8, | 10, | 10, | 10 |
| 3, | 8, | 8, | 8, | 8, | 8, | 8, | 11 |
| 4, | 8, | 8, | 8, | 8, | 8, | 8, | 12 |
| 5, | 7, | 7, | 8, | 8, | 8, | 8, | 13 |
| 6, | 6, | 6, | 8, | 8, | 8, | 8, | 14 |
若令 \( {a}_{1} \) 为 \( 7,{a}_{8} \) 为15，保持8为唯一众数，并保持 \( {a}_{4} + {a}_{5} = {16} \) ，则可得:
7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 13
总和为68，超过64，不可能。因此集合中可出现的最大整数为14。
例22.(2002 AMC 10 B 第25题)当把15追加到一个整数列表时，平均数增加2。当再把1追加到扩大后的列表时，扩大后列表的平均数减少1。原列表中有多少个整数？
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
解答:(A)。
方法1(官方解答):
设 \( n \) 表示原列表中整数的个数， \( m \) 表示原平均数，则原数之和为 \( {mn} \) 。将15追加到列表后，总和为
\( \left( {m + 2}\right) \left( {n + 1}\right) = {mn} + {15} \) ，所以 \( m + {2n} = {13} \) 。
再将1追加到扩大后的列表，总和为
\[ \left( {m + 1}\right) \left( {n + 2}\right) = {mn} + {16}\text{, so}{2m} + n = {14}\text{.} \]
解 \( m + {2n} = {13} \) 与 \( {2m} + n = {14} \) 得 \( m = 5 \) 与 \( n = 4 \) 。方法2(我们的解法):设 \( n \) 表示原列表中整数的个数， \( m \) 表示
原平均数。设这些数为 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \cdots ,{a}_{n} \) ，且 \( {a}_{1} \leq {a}_{2} \leq \cdots \leq {a}_{n} \) 。
我们有 \( \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} = m\; \Rightarrow \;{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n} = {mn} \) (1)
\[ \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n} + {15}}{n + 1} = m + 2 \tag{2} \]
\[ \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n} + {15} + 1}{n + 1 + 1} = m + 2 - 1 \tag{3} \]
将(1)代入(2): \( \frac{{mn} + {15}}{n + 1} = m + 2\; \Rightarrow \;m = {13} - {2n} \) (4)
将(1)与(4)代入(3): \( \frac{n\left( {{13} - {2n}}\right) + {15} + 1}{n + 1 + 1} = {13} - {2n} + 2 - 1 \Rightarrow \)
\( \frac{{13n} - 2{n}^{2} + {16}}{n + 2} = {14} - {2n} \Rightarrow {13n} - 2{n}^{2} + {16} = \left( {{14} - {2n}}\right) \left( {n + 2}\right) \Rightarrow \)
\( {13n} - 2{n}^{2} + {16} = {14n} - 2{n}^{2} + {28} - {4n} \Rightarrow \;{13n} = {10n} + {12} \Rightarrow \;n = 4. \)
例23.(1995 AMC)一个包含五个正整数的列表，平均数为12，极差(range)为18。众数(mode)与中位数(median)均为8。列表中第二大的元素可能有多少种不同的取值？
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12
答案:(B)。
方法一(官方解法):
由于中位数(median)和众数(mode)均为8，且极差(range)为18，该数列只能取以下两种形式之一:
(I): \( a, b,8,8, a + {18} \) ，其中 \( a < b < 8 < a + {18} \)
或(II): \( c,8,8, d, c + {18} \) ，其中 \( c < 8 < d < c + {18} \) 。
五个整数的和必须为60，因为它们的平均数为12。
在情形(I)中， \( {2a} + b + {34} = {60} \) 的要求与 \( a, b < 8 \) 矛盾。
在情形(II)中， \( {2c} + d + {34} = {60} \) 和 \( c < 8 < d < c + {18} \) 给出以下六组(c, d): \( \left( {8,{10}}\right) ,\left( {7,{12}}\right) ,\left( {6,{14}}\right) ,\left( {5,{16}}\right) ,\left( {4,{18}}\right) ,\left( {3,{20}}\right) \) 。
因此，列表中第二大的数可以是 \( d = {10},{12},{14},{16},{18},{20} \) 中的任意一个。
方法二(我们的解法):
设 \( a \) 为最小元素， \( d \) 为最大元素， \( b, b \) 和 \( c \) 为其余元素。则 \( b = 8 \) 。
\( a + {2b} + c + d = {60}\; \Rightarrow \;a + c + d = {44} \) (1)
且 \( d - a = {18} \) (2)
(1) \( - \left( 2\right) : a = {13} - \frac{c}{2} \) (3)
(1) \( + \left( 2\right) : d = {31} - \frac{c}{2} \) (4)
为使 \( a \) 为正整数，由(3)可知 \( c \leq {24} \) 。
此外， \( a \leq 8 \) 意味着 \( a = {13} - \frac{c}{2} \leq 6\; \Rightarrow \;c \geq {10} \)
我们还知道 \( c \leq d \) 。
因此 \( c \) 必须是10,12,14,16,18,20,22,24这八个整数之一。
当 \( c = {20}, d = {31} - \frac{20}{2} = {31} - {10} = {21} \) 时。
当 \( c = {22}, d = {31} - \frac{22}{2} = {31} - {11} = {20} < c \) 时(不工作)。
因此，列表中第二大的数可以是六个数 \( d = {10},{12},{14},{16},{18},{20} \) 中的任意一个。
例24. 一个整数列表的众数(mode)为32，平均数(mean)为22。列表中最小的数是10。列表的中位数(median) \( m \) 是列表中的一个成员。如果将列表成员 \( m \) 替换为 \( m + {10} \) ，则新列表的平均数和中位数将分别为24和 \( m \) +10。如果 \( m \) 被替换为 \( m - 8 \) ，则新列表的中位数为 \( m - 4 \) 。 \( m \) 是多少？
(A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 19 (E) 20
解答:(E)。
方法1(官方解答):
当在列表中某个数上加10时，平均数增加2，因此原列表中必有五个数，其和为 \( 5 \times {22} = {110} \) 。由于10是列表中最小的数，且 \( m \) 是中位数，我们可以假设 \( {10} < a < m < b < \) \( c \) ，将列表的其他成员记为 \( a, b \) 和 \( c \) 。由于众数为32，必须有 \( b = c = {32} \) ；否则 \( {10} + m + a + b + c \) 将大于110。因此 \( a + m = {36} \) 。由于将 \( m \) 减少8会使中位数减少4， \( a \) 必须比 \( m \) 小4。解 \( a + m = {36} \) 和 \( m - a = 4 \) 关于 \( m \) 的方程得 \( m = {20} \) 。
方法2(我们的解答):
设 \( n \) 表示原列表中整数的个数。
设这些数为 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \cdots ,{a}_{n} \) ，其中 \( {a}_{1} \leq {a}_{2} \leq \cdots \leq {a}_{n} \)
我们有 \( \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} = {22}\; \Rightarrow \;{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n} = {22n} \) (1)
\[ \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n} + {10}}{n} = {24} \tag{2} \]
将(1)代入(2): \( \frac{{22n} + {10}}{n} = {24} \Rightarrow {22n} + {10} = {24n}\; \Rightarrow \;n = 5 \) 。
因此列表中有五个数: \( {a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4},{a}_{5} \) ，其中 \( {a}_{1} = {10},{a}_{3} = m \) 和 \( {10} + {a}_{2} + m + {a}_{4} + {a}_{5} = {110}. \)
由于众数为32，必须有 \( {a}_{4} = {a}_{5} = {32} \) ；否则 \( {10} + {a}_{2} + m + {a}_{4} + {a}_{5} \) 将大于110。
因此我们有 \( {10},{a}_{2}, m,{32},{32} \) 和 \( {10} + {a}_{2} + m + {32} + {32} = {110} \) (1)
若将 \( m \) 替换为 \( m - 8 \) ，则新列表的中位数为 \( m - 4 \) 。因此我们有列表 \( {10}, m - 8,{a}_{2},{32},{32} \) ，且已知 \( {a}_{2} = m - 4 \) 。
将 \( {a}_{2} = m - 4 \) 代入(1)得: \( {10} + m - 4 + m + {32} + {32} = {110} \Rightarrow m = {20} \) 。
习题
问题1. 求下列分数集合的均值:22, 25, 28, 27, 24, 25, 27, 22。
(A) 33 (B) 27 (C) 28 (D) 25 (E) 15
问题2. 求下列分数集合的中位数:17, 22, 24, 16, 17, 19, 21。
(A) 19 (B) 17 (C) 18 (D) 22 (E) 16
问题3. 求下列数据集的中位数:65, 90, 73, 78, 82, 80, 95, 100。
(A) 80 (B) 81 (C) 82 (D) 90 (E) 73
问题4. 求下列分数集合的众数:(5, 8, 3, 8, 7, 6, 7, 8, 4, 5)。
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 5 (E) 4
问题5. 集合 \( \{ 1,2,2,3,3,4,4,5,5,6\} \) 有多少个众数？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
问题6. 下列分数集合(7.67, 7.93, 8.21, 7.86, 8.05)的极差是多少？
(A) 0.21 (B) 0.54 (C) 1.67 (D) 1.21 (E) 1.3
问题7. 某预代数班级的考试成绩以茎叶图形式给出。求给定数据的中位数与众数的算术平均数。
(A) 82 (B) 25 (C) 22 (D) 18 (E) 16
问题8. 求这组数的平均数、中位数和众数之和: \( \{ {15},7,{11},7,5,{13},9\} \)
问题9. 求下列分数集合的平均数与众数之差:22,25,28,27,24,25,27,22,25。
(A) 2 (B) 3 (C) 0 (D) 1 (E) 253
问题10. 数集(1,3,6,6,6,6,7,7,12,12,17)的众数与中位数之和是多少？
(A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 6 (E) 13
问题11. 求这组数据的中位数与平均数之和:65,90,73,78,82,80,95,100。
(A) 120 (B) 163 (C) 82 (D) 81 (E) 173
问题12. 列表 \( n, n + 2, n + 3, n + 5, n + 7, n + 8, n + {11}, n \) \( + {14}, n + {16}, n + {19} \) 的中位数为20，求其平均数。
(A) 14 (B) 16 (C) 17 (D) 20 (E) 21
问题13. 六个连续偶数之和为510，求这些数的平均数与中位数之差。
(A) 5 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) 0
问题14. 12个数的平均数为24，24个数的平均数为12，求全部36个数的平均数。(A) 10 (B) 14 (C) 15 (D) 12 (E) 16 问题15. 求下列分数集合的极差与中位数之和:80,85,75,90,70,100,85,90
(A) 120 (B) 125 (C) 130 (D) 100 (E) 135
问题16. 求下列数据集的平均数与众数之和。 \( \{ 1,8,5,4,3,4,5,2,5,3\} \) 。
(A) 8 (B) 4 (C) 5 (D) 9 (E) 13
问题17。Kathy在前三次数学考试中分别获得了88、84和89分。如果Kim在第四次考试中得到94分，那么她的平均分将
(A) 保持不变 (B) 增加1分 (C) 增加2分
(D) 增加3分 (E) 增加4分
问题18。王先生给一个有六名学生的数学班进行了一次考试。他按随机顺序将分数输入电子表格，每输入一个分数，表格都会重新计算班级平均分。王先生注意到，每输入一个分数后，平均分始终是整数。这些分数(按升序排列)是77、88、92、94和97。王先生最后输入的分数是多少？
(A) 77 (B) 88 (C) 92 (D) 94 (E) 97
问题19。当列表11、3、6、3、5、3、 \( x \) 的均值、中位数和众数按升序排列时，它们构成一个非常数等差数列。 \( x \) 的所有可能实数值之和是多少？
(A) 4 (B) 25 (C) 39 (D) 43 (E) 54
问题20。三个数的均值比最小的数大15，比最大的数小20。这三个数的中位数是8。它们的和是多少？
(A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 39 (E) 46
问题21。一个包含八个整数的集合的均值、中位数、唯一众数和极差都等于8。这个集合中可能的最小整数是多少？
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1
问题22。当28被添加到一个整数列表中时，均值增加了3。当4被添加到扩大后的列表中时，扩大后列表的均值减少了2。原始列表中有多少个整数？
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
问题23。一个包含五个正整数的列表的均值为10，极差为20。众数和中位数都是6。列表中第二大的元素可能有多少个不同的值？
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12
问题24。一个整数列表的众数为16，均值为12。列表中最小的数是6。列表的中位数 \( m \) 是列表中的一个成员。如果列表成员 \( m \) 被替换为 \( m + {10} \) ，新列表的均值和中位数将分别为14和 \( m \) +10。如果 \( m \) 被替换为 \( m - 4 \) ，新列表的中位数将是 \( m - 2 \) 。 \( m \) 是多少？
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 10 (E) 12
解答:
第1题。答案:(D)。
平均数为
\[ \overset{ - }{x} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \ldots + {x}_{n}}{n} = \frac{{22} + {25} + {28} + {27} + {24} + {25} + {27} + {22}}{8} = \frac{200}{8} = {25} \]
第2题。答案:(A)。
将这组数按从小到大排列:16,17,17,19,21,22,24。
由于 \( n \) 为奇数(7)，中位数为19(中间的那个数)。
第3题。答案:(B)。
将这组数按从小到大排列:65,73,78,80,82,90,95,100。
由于 \( n \) 为偶数(8)，中位数为两个中间数的平均值: \( \left( {{80} + {82}}\right) /2 = {81} \) 第4题。答案:(C)。我们将数据重新排列如下:3,4,5,5,6,7,7,8,8,8。数字8在数据集中出现次数最多，因此众数为8。
第5题。答案:(D)。
该集合有四个众数:2,3,4和5。
第6题。答案:(B)。
最小数为7.67，最大数为8.21。极差为 \( {8.21} - {7.67} \) \( = {0.54} \) 。
第7题。答案:(A)。
共有27个数。第14个数即为中位数，是78。
众数(mode)为86。
中位数(median)与众数(mode)的平均值为 \( \left( {{78} + {86}}\right) /2 = {82} \) 。
问题8。解答: \( {25}\frac{4}{7} \) 。
平均数(mean) \( = \overset{ - }{x} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \ldots + {x}_{n}}{n} = \frac{{15} + 7 + {11} + 7 + 5 + {13} + 9}{7} = \frac{67}{7} = 9\frac{4}{7} \)
中位数(median)为9，它是列表5,7,7,9,11,13,15中的中间数。
众数(mode)为7，它出现了两次。
答案为 \( 9\frac{4}{7} + 9 + 7 = {25}\frac{4}{7} \) 。
问题9。解答:(C)。
平均数(mean)为
\[ \bar{x} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \ldots + {x}_{n}}{n} = \frac{{22} + {25} + {28} + {27} + {24} + {25} + {27} + {22}}{8} = \frac{200}{8} = {25}. \]
众数(mode)是集合中出现次数最多的数，即25:
22,22,24,25,25,25,27,27,28.
差值为 \( {25} - {25} = 0 \) 。
问题10。解答:(B)。
数字6是数据集中出现次数最多的数，因此众数(mode)为6。
中位数(median)为6(中间数)。
总和为 \( 6 + 6 = {12} \) 。
问题11。解答:(B)。
将这组数字按从小到大排列:65,73,78,80,82,90,95,100。
因为 \( n \) 为偶数(8)，所以中位数是中间两个数的平均值:
\( \left( {{80} + {82}}\right) /2 = {81} \)
平均数为 \( \bar{x} = \frac{{65} + {73} + {78} + {80} + {82} + {90} + {92} + {96}}{8} = {82} \) 。
总和为 \( {81} + {82} = {163} \) 。
问题12。解答:(E)。
10个数列表中的中间数是 \( \left\lbrack {\left( {n + 7}\right) + \left( {n + 8}\right) }\right\rbrack /2 = n + {15}/2 \) ，
已知为20。因此 \( n = {25}/2 \) 。平均数为 \( \left( {{10n} + {85}}\right) /{10} = {210}/{10} = {21} \) 。
问题13。解答:(E)。
中位数是中间两个数的平均值。中间两个数的平均值等于所有数的平均值。
所有数的平均值为 \( {510}/6 = {85} \) 。
正差为 \( {85} - {85} = 0 \) 。
问题14。解答:(E)。
这 \( {12} + {24} = {36} \) 个数的总和为 \( {12} \times {24} + {24} \times {12} = {576} \) 。它们的平均值为 \( {576}/{36} = {16} \) 。
问题15。解答:(B)。
将这组数字按从小到大排列:70,75,80,85,85,90,90,100。
因为 \( n \) 为偶数(8)，所以中位数是中间两个数的平均值: \( \left( {{85} + {85}}\right) /2 = {85} \) 。最小数为70，最大数为100。极差为 \( {100} - {70} = \) 30。
总和为 \( {85} + {30} = {125} \) 。
问题16。答案:(D)。
均值 \( = \bar{x} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \ldots + {x}_{n}}{n} = \frac{1 + 8 + 5 + 4 + 3 + 4 + 5 + 2 + 5 + 3}{10} = 4 \)
众数为5，列表如下: \( \{ 1,2,3,3,4,4,5,5,5,8\} \)
总和为 \( 4 + 5 = 9 \) 。
问题17。答案:(B)。
平均值从 \( \left( {{88} + {84} + {89}}\right) /3 = {87} \) 变为 \( \left( {{88} + {84} + {89} + {91}}\right) /4 = {88} \) ，增加了1。
问题18。答案:(C)。
前 \( n \) 名学生的分数之和必须是 \( n \) 的倍数。前两名学生的分数必须具有相同的奇偶性。前三名学生的分数之和必须能被3整除。77、88、92、94和97除以3的余数分别为2、1、2、1和1。我们发现唯一能被3整除的三个分数之和是 \( {88} + {94} + {97} = {279} \) 。因此，前两个输入的分数是88和94(顺序不限)，第三个分数 \( {97.279} + x \) 必须是4的倍数。因此 \( x \) 必须是奇数。于是我们从77和 \( {92.279} + {77} = {356} = 4 \times {89} \) 这两个数中选择77。由此可知，第四个分数是77，最后一个输入的分数是92。
问题19。答案:(E)。
如果 \( x \) 小于或等于3，那么3既是该列表的中位数又是众数。因此 \( x > 3 \) 。考虑两种情况: \( 3 < x < 5 \) 和 \( x \geq 5 \) 。
情况1:如果 \( 3 < x < 5 \) ，则3是众数， \( x \) 是中位数， \( \left( {{31} + x}\right) /7 \) 是均值，
我们有
\[ \frac{\frac{{31} + x}{7} + 3}{2} = x \Rightarrow \;\frac{{31} + x}{7} + 3 = {2x}\; \Rightarrow \;x = 4. \]
情况2:如果 \( x \geq 5 \) ，则5是中位数，3是众数， \( \left( {{31} + x}\right) /7 \) 是均值。我们有
\[ \frac{5 + 3}{2} = \frac{{31} + x}{7} \Rightarrow \;\frac{{31} + x}{7} = 4\; \Rightarrow \;x = - 3 \]
\[ \frac{\frac{{31} + x}{7} + 5}{2} = 3 \Rightarrow \;\frac{{31} + x}{7} = 6\; \Rightarrow \;x = {11} \]
\[ \frac{\frac{{31} + x}{7} + 3}{2} = 5 \Rightarrow \;\frac{{31} + x}{7} = {10}\; \Rightarrow \;x = {39}. \]
11和39是大于或等于5的值。
因此 \( x \) 值的总和为 \( 4 + {11} + {39} = {54} \) 。
问题20。解答:(D)。
设这三个数为 \( a \leq b \leq c \) 。
我们有 \( \frac{a + b + c}{3} = a + {15} = c - {20} \) 或
\[ \frac{a + b + c}{3} = \frac{a + {15}}{1} = \frac{c - {20}}{1} = \frac{a + c - 5}{2} = \frac{\left( {a + b + c}\right) - \left( {a + c - 5}\right) }{3 - 2} = \frac{b + 5}{1} \tag{1} \]
已知这三个数的中位数为8，因此 \( b = 8 \) 。
将 \( b = 8 \) 代入(1): \( \frac{a + b + c}{3} = \frac{8 + 5}{1} = {13} \Rightarrow a + b + c = 3 \times {13} = {39} \) 。
问题21。解答:(D)。
设这八个数为 \( {a}_{1} \leq {a}_{2} \leq {a}_{3} \leq {a}_{4} \leq {a}_{5} \leq {a}_{6} \leq {a}_{7} \leq {a}_{8} \) ，其中位数为 \( {a}_{4} + {a}_{5} = \)
16，均值为 \( {a}_{1} + {a}_{2} + {a}_{3} + {a}_{4} + {a}_{5} + {a}_{6} + {a}_{7} + {a}_{8} = {64} \) ，极差为 \( {a}_{8} - {a}_{1} = 8 \) 。
我们希望 \( {a}_{1} \) 取最小值，这等价于让 \( {a}_{8} \) 取最小可能值。
以下列表均满足题意。
\( \begin{array}{llllllll} {a}_{1} & {a}_{2} & {a}_{3} & {a}_{4} & {a}_{5} & {a}_{6} & {a}_{7} & {a}_{8} \end{array} \)
2, 8, 8, 8, 8, 10, 10, 10
3, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 11
4,8,8,8,8,8,12
5, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 13
6,6,6,8,8,8,14
若令 \( {a}_{1} \) 为 \( 1,{a}_{8} \) 为9，保持8为唯一众数，并保持 \( {a}_{4} + {a}_{5} = {16} \) ，可得:
1,8,8,8,8,9,9,9
总和为60，小于64，不可能。因此集合中可包含的最小整数为2。
问题22。解答:(A)。
设 \( n \) 表示原列表中整数的个数， \( m \) 表示原均值。设这些整数为 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \cdots ,{a}_{n} \) ，且 \( {a}_{1} \leq {a}_{2} \leq \cdots \leq {a}_{n} \) 。
我们有 \( \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} = m\; \Rightarrow \;{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n} = {mn} \) (1)
\[ \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n} + {28}}{n + 1} = m + 3 \tag{2} \]
\[ \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n} + {28} + 4}{n + 1 + 1} = m + 3 - 2 \tag{3} \]
将(1)代入(2): \( \frac{{mn} + {28}}{n + 1} = m + 3\; \Rightarrow \;m = {25} - {3n} \) (4)
将(1)和(4)代入(3): \( \frac{n\left( {{25} - {3n}}\right) + {28} + 4}{n + 1 + 1} = {25} - {3n} + 3 - 2 \Rightarrow \)
\[ \frac{{25n} - 3{n}^{2} + {32}}{n + 2} = {26} - {3n}\; \Rightarrow \;{25n} - 3{n}^{2} + {32} = \left( {{26} - {3n}}\right) \left( {n + 2}\right) \Rightarrow \]
\[ {25n} - 3{n}^{2} + {32} = {26n} - 3{n}^{2} + {52} - {6n} \Rightarrow {5n} = {20} \Rightarrow n = 4. \]
问题23。解答:(A)。
设 \( a \) 为最小元素， \( d \) 为最大元素， \( b, b \) 和 \( c \) 为其余元素。则 \( b = 6 \) 。
\[ a + {2b} + c + d = {60}\; \Rightarrow \;a + c + d = {48} \tag{1} \]
\[ \text{and}d - a = {20} \tag{2} \]
\[ \text{(1)} - \left( 2\right) : a = {14} - \frac{c}{2} \tag{3} \]
\[ \text{(1)} + \left( 2\right) : d = {34} - \frac{c}{2} \tag{4} \]
为使 \( a \) 为正整数，由(3)可知 \( c \) 必须为偶数且小于
28。此外， \( a \leq 6 \) 意味着 \( a = {14} - \frac{c}{2} \leq 6 \)
我们还知道 \( c \leq d \) 。
因此 \( c \) 必须是 \( {16},{18},{20},{22},{24},\cdots \cdots \) 这六个整数之一。
当 \( c = {22}, d = {34} - \frac{22}{2} = {34} - {11} = {23} \) 。
当 \( c = {24}, d = {34} - \frac{24}{2} = {34} - {12} = {22} < c \) (不成立)。
这四个 \( c \) 的取值各产生一个满足条件的五正整数列表。
问题24。解答:(E)。
设 \( n \) 表示原列表中的整数个数。
设这些数为 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \cdots ,{a}_{n} \) ，其中 \( {a}_{1} \leq {a}_{2} \leq \cdots \leq {a}_{n} \) 。
我们有 \( \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} = {12}\; \Rightarrow \;{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n} = {12n} \) (1)
\[ \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n} + {10}}{n} = {14} \tag{2} \]
将(1)代入(2): \( \frac{{12n} + {10}}{n} = {14} \Rightarrow {12n} + {10} = {14n} \Rightarrow n = 5 \) 。
因此列表中有五个数: \( {a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4},{a}_{5} \) ，其中 \( {a}_{1} = 6,{a}_{3} = m \) 且
\[ 6 + {a}_{2} + m + {a}_{4} + {a}_{5} = {60}. \]
由于众数(mode)为16，必须有 \( {a}_{4} = {a}_{5} = {16} \) ；否则 \( 6 + {a}_{2} + m + {a}_{4} + {a}_{5} \) 将大于60。
因此我们有 \( {10},{a}_{2}, m,{16},{16} \) 和 \( 6 + {a}_{2} + m + {16} + {16} = {60} \) (3)
若将 \( m \) 替换为 \( m - 4 \) ，则新列表的中位数(median)为 \( m - 2 \) 。
因此我们有列表 \( 6, m - 4,{a}_{2},{16},{16} \) ，且已知 \( {a}_{2} = m - 2 \) 。
将 \( {a}_{2} = m - 2 \) 代入(3)得: \( 6 + m - 2 + m + {16} + {16} = {60}\; \Rightarrow m = {12} \) 。